已知与圆C：x 2 +y 2 -2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|
| 已知与圆C：x 2 +y 2 -2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB|=b （a＞2，b＞2）． （1）求直线l与圆C相切的条件； （2）在（1）的条件下，求线段AB的中点轨迹方程； （3）在（1）的条件下，求△AOB面积的最小值． |
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设直线l的方程为
x
a +
y
b =1 ，即bx+ay-ab=0，圆C的标准方程为（x-1） 2 +（y-1） 2 =1，圆心C（1，1），半径r=1．
（1）直线l与圆C相切，则
|b+a-ab|
a 2 + b 2 =1 ，∴（a-2）（b-2）=2（4分）
（2）设线段AB的中点M（x，y），则 x=
a
2 ， y=
b
2 ，即a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得 (x-1)(y-1)=
1
2 (x＞1，y＞1) （8分）
（3） S △AOB =
1
2 |ab|=a+b-1 =（a-2）+（b-2）+3 ≥2
(a-2)(b-2) +3=2
2 +3
当且仅当 a=b=2+
2 时，△AOB的面积最小，最小值为 2
2 +3
x
a +
y
b =1 ，即bx+ay-ab=0，圆C的标准方程为（x-1） 2 +（y-1） 2 =1，圆心C（1，1），半径r=1．
（1）直线l与圆C相切，则
|b+a-ab|
a 2 + b 2 =1 ，∴（a-2）（b-2）=2（4分）
（2）设线段AB的中点M（x，y），则 x=
a
2 ， y=
b
2 ，即a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得 (x-1)(y-1)=
1
2 (x＞1，y＞1) （8分）
（3） S △AOB =
1
2 |ab|=a+b-1 =（a-2）+（b-2）+3 ≥2
(a-2)(b-2) +3=2
2 +3
当且仅当 a=b=2+
2 时，△AOB的面积最小，最小值为 2
2 +3
1年前
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1年前2个回答
你能帮帮他们吗