一题等比数列的题目,已知Sn+an=(n-1)/[n(n+1)]设bn=Sn-1/(n+1),求证{bn}为等比数列

因为 an=Sn-S(n-1),注意到
(n-1)/[n(n+1)]
=(n-1)/n-(n-1)/(n+1)
=1-1/n-(1-2/(n+1))
=2/(n+1)-1/n
所以
Sn+an
=Sn+(Sn-S(n-1))
=2Sn-S(n-1)
=(n-1)/[n(n+1)]
=2/(n+1)-1/n
即 2Sn-S(n-1)=2/(n+1)-1/n.
因此有 2Sn-2/(n+1)=S(n-1)-1/n,即 2(Sn-1/(n+1))=S(n-1)-1/n,所以2bn=b(n-1),bn=1/2b(n-1).
因此数列{bn}是以b1=S1-1/2=-1/2为首项,1/2为公比的等比数列.
其中S1可由 S1+a1=(1-1)/[1*(1+1)] 以及 S1=a1 求出.

原式=-an-1/n(n+1)