已知向量a =（sinx，23cosx），b =（2sinx，sinx），设f(x)＝a

解题思路：（1）由已知中向量

a

=（sinx，2

3

cosx），

b

=（2sinx，sinx），设f(x)＝

a

•

b

−1，根据向量数量积计算公式，我们易求出f（x）的解析式，利用降幂公式（二倍角公式逆用）及辅助角公式，我们可将其化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的图象和性质，得到（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）根据（1）中所得函数f（x）的解析式，结合x∈[ 0 ，

π

2

]及正弦型函数的图象和性质，可求出此时f（x）的值域；
（3）f（x）的图象按

m

=（t，0）作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，即此时原点是f（x）的对称中心，根据（1）中解析式，求出函数f（x）的距离原点最近的对称中心，即可得到

m

的坐标．

f(x)＝

a•

b −1＝2sin2x+2
3cosxsinx−1=1−cos2x+
3sin2x−1=2sin ( 2x−
π
6 )（4分）
（1）最小正周期为：T＝
2π
2＝π−
π
2+2kπ≤2x−
π
6≤
π
2+2kπ（k∈Z）−
π
6+kπ≤x≤
π
3+kπ（k∈Z）
∴单调递增区间为[−
π
6+kπ，[π/3+kπ]（k∈Z）（7分）
（2）∵x∈[ 0 ，
π
2 ]∴2x−
π
6∈[ −
π
6 ，
5
6π ]
∴sin ( 2x−
π
6 )∈[ −
1
2 ，1 ]∴f（x）∈[-1，2]（10分）
（3）2x−
π
6＝kπ⇒x＝
π
12+
kπ
2]（k∈Z）
∴f（x）的对称中心坐标为（

点评：
本题考点： 平面向量的综合题．

考点点评： 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦型函数的周期，单调性，最值及函数图象的平移变换，是三角函数图象和性质与平面向量的综合应用，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．