已知函数f（x）=ax-lnx，g（x）=[lnx/x]，它们的定义域都是（0，e]．（e≈2.718）

（1）当a=1时，f（x）=x-lnx，f′(x)＝1−
1
x＝
x−1
x．
∵f（x）定义域是（0，e]，当x=1时f'（x）=0，
当x∈（0，1）时f'（x）＜0，当x∈（1，e]时f'（x）＞0，
∴当x=1时，f（x）有最小值f（1）=1．
（2）证明：由（1）知，在a=1且m∈（0，e]时，有f（m）≥1．
又∵x∈（0，e]，g′(x)＝
1−lnx
x2≥0，
∴g（x）在区间（0，e]上为增函数，g(x)≤g(e)＝
1
e＜
1
2.7＝
10
27，
∴当n∈（0，e]时，g(n)+
17
27＜
10
27+
17
27＝1．
∵f（m）≥1，∴f(m)＞g(n)+
17
27对一切m，n∈（0，e]恒成立．
（3）假设存在实数a，使得f（x）的最小值是3，f′(x)＝a−
1
x＝
ax−1
x．
①当a≤
1
e时，∵x∈（0，e]，∴ax≤1，f'（x）≤0，
∴f（x）在（0，e]上为减函数．
∴当x=e时f（x）取最小值f（e）=ae-1=3，此时a＝
4
e，矛盾，故舍去．
②当a＞
1
e时，令f'（x）＜0，得0＜x＜
1
a；令f'（x）＞0，得[1/a＜x≤e．
∴f（x）在(0，
1
a]上为减函数，在(
1
a，e]上为增函数．
∴当x＝
1
a]时，f（x）取最小值f(
1
a)＝1−ln
1
a＝3，此时a=e²．
∴假设成立，因此存在a=e²，使得f（x）的最小值是3．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．