已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y 2 =4x的一条切线．

（1）由

x-y+b=0
y 2 =4x 消去y得： x 2 +(2b-4)x+ b 2 =0
因直线y=x+b与抛物线y ² =4x相切，
∴△=（2b-4） ² -4b ² =0∴b=1，
∵圆 C：
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1(a＞b＞0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形，∴ a=
2 b=
2
故所求椭圆方程为
x 2
2 + y 2 =1.
（2）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程： x 2 +(y+
1
3 ) 2 =(
4
3 ) 2
当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x ² +y ² =1
由

x 2 +(y+
1
3 ) 2 =(
4
3 ) 2
x 2 + y 2 =1 解得

x=0
y=1
即两圆相切于点（0，1）
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）
事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下．
当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线L不垂直于x轴，可设直线L： y=kx-
1
3
由

y=kx-
1
3

x 2
2 + y 2 =1 消去y得：(18 k 2 +9) x 2 -12kx-16=0
记点A（x ₁ ，y ₁ ）、 B( x 2 ， y 2 )，则

x 1 + x 2 =
12k
18 k 2 +9
x 1 x 2 =
-16
18 k 2 +9
又因为

TA =( x 1 ， y 1 -1)，

TB =( x 2 ， y 2 -1)
所以

TA •

TB = x 1 x 2 +( y 1 -1)( y 2 -1)= x 1 x 2 +(k x 1 -
4
3 )(k x 2 -
4
3 )
= (1+ k 2 ) x 1 x 2 -
4
3 k( x 1 + x 2 )+
16
9
= (1+ k 2 )•
-16
18 k 2 +9 -
4
3 k•
12k
18 k 2 +9 +
16
9 =0
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．