已知a 1 =1，点（a n ，a n+1 ）在函数f（x）=x 2 +4x+2的图象上，其中n=1，2，3，4，…

（1）证明：由已知a _n+1 =a _n ² +4a _n +2，
∴a _n+1 +2=（a _n +2） ²
∵a ₁ =1⇒a _n +2＞1，两边取对数，得lg（a _n+1 +2）=2lg（a _n +2）
∴{lg（a _n +2）}是等比数列，公比为2，首项为lg（a ₁ +2）=lg3
（2）由（1）得 lg( a n +2)= 2 n-1 lg3=lg 3 2 n-1 ，
∴ a n = 3 2 n-1 -2 ，
∵lgT _n =lg[（a ₁ +2）（a ₂ +2）（a _n +2）]=lg（a ₁ +2）+lg（a ₂ +2）+…+lg（a _n +2）=
( 2 n -1)lg3
2-1 =lg 3 2 n -1
∴ T n = 3 2 n -1
（3）
∵ b n =
1
2 (
1
a n +1 +
1
a n +3 )=
1
2 (
1
3 2 n-1 -1 +
1
3 2 n-1 +1 )=
3 2 n-1
3 2 n -1 =
1
3 2 n-1 -1 -
1
3 2 n -1
=
1
a n +1 -
1
a n+1 +1 =
1
a 1 +1 -
1
a n+1 +1 =
1
2 -
1
3 2 n -1
显然b _n ＞0，
∴ S n ≥ S 1 =
3
8 ，
又 S n =
1
2 -
1
3 2 n -1 ＜
1
2 ，
∴
3
8 ≤ S n ＜
1
2 ．