SUMG27
幼苗
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点评:该题考查三角函数与向量方面的知识.
为方便书写,所有向量均用字母表示,请自行辨认.
(1)m=(1,1)∴丨m丨=√2.OD=(-1,1),∴丨OD丨=√2
设n=(a,b),由m与n的夹角为3π/4,且m·n=-1,(得a+b=-1.①)
得cos<m,n>=(m·n)/(丨m丨·丨n丨)=-1/[√2·√(a^2+b^2)]=cos3/4π=-√2/2
即化简得√(a^2+b^2)=1
由<OD,n>=π/4知,cos<OD,n>=(OD·n)/(丨OD丨·丨n丨)=(-a+b)/[(√2)·√(a^2+b^2)]=(-a+b)/(√2)=cosπ/4=√2/2
得-a+b=1.②
联立①②得a=-1,b=0.故n=(-1,0).
(2)设n=(c,d),
若n与q=(1,0)的夹角为π/2,
即cosπ/2=(n·q)/(丨n丨·丨q丨)=c/(√(c^2+d^2))=0,
即c=0
又mn=-1,∴c+d=-1,∴d=-1.
所以n=(0,-1)
在△ABC中,∵B=π/3,∴A+C=2π/3(0<C<2π/3)
2cos²C/2=1+cosC
∴n+p=(cosA,cosC)
∴|n+p|=√[cos^2(A)+cos^2(C)]
=√[cos^2(2π/3-C)+cos^2(C)]
=√[1/2cos(4π/3-2C)+1/2cos2C+1]
=√[1/4cos2C-√3/4sin2C+1]
=√[1/2cos(2C+π/3)+1]
π/3<2C+π/3<5π/3
1/4>1/2cos(2C+π/3)≥-1/2
√2/2≤|n+p|
1年前
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