在平面直角坐标系xoy中，点P到两点F1(0，−3)、F2(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1

解题思路：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆．从而写出其方程即可；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系和弦长公式，即可求得此时|AB|的值，再由点到直线的距离公式求出AB边上的高，代入面积公式进行求解；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，求出两根之和与积，再由A、B在椭圆上和向量模的公式代入

|OA|

2 − |

OB

|2进行化简，根据点A位置和k的范围，判断式子的符号进行证明．

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以 (0，−
3)，(0，
3)为焦点，长半轴为2的椭圆，
则它的短半轴 b＝
22−(
3)2＝1，
∴曲线C的方程为 x2+
y2
4＝1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+
y2
4＝1
y＝x+1，
消去y并整理得5x²+2x-3=0，故x1+x2＝−
2
5，x1x2＝−
3
5，
∴|AB|=

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力，难点在与计算量较大，平时应加大训练的力度与方向性．