一个数有12个约数,乘以81后有36个约数,那么这个数至少是多少?第2小、第3小各是多少?

假设正整数n分解质因数为：
n=(a1^x1)*(a2^x2)...(am^xm)
其中a1、a2……am为互不相等的质数,x1、x2……xm为正整数
那么正整数n有(x1+1)(x2+1)...(xm+1)个约数
根据题意,(x1+1)(x2+1)...(xm+1)=12
情况1：n不能被3整除
那么81n=(3^4)*(a1^x1)*(a2^x2)...(am^xm)
那么正整数81n有(4+1)(x1+1)(x2+1)...(xm+1)=60个约数（与题设矛盾）
情况2：n能被3整除
假设n=(3^x1)*(a2^x2)...(am^xm)
那么81n=(3^4)*(3^x1)*(a2^x2)...(am^xm)=[3^(4+x1)]*(a2^x2)...(am^xm)
那么正整数81n有(4+x1+1)(x2+1)...(xm+1)个约数
根据题意,(4+x1+1)(x2+1)...(xm+1)=36
所以(5+x1)/(1+x1)=3
所以x1=1
所以n=3*(a2^x2)*(a3^x3)...(am^xm)
其中a2、a3……am为互不相等且不为3的质数,x2、x3……xm为正整数
且满足(x2+1)(x3+1)...(xm+1)=6
所以n最小为3*(2^2)*(5^1)=60
第二小为3*(2^2)*(7^1)=84
第三小为3*(2^5)=96