已知函数 f(x)=2ax+ b x +lnx ．

（Ⅰ）∵f′（x）=2a-
b
x 2 +
1
x ，…（2分）
由

f′(1)=0
f′(
1
2 )=0 ，…（4分）
可得

a=-
1
3
b=
1
3 ．…（6分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），…（7分）
因为f′（1）=2，所以b=2a-1．…（8分）
所以f′（x）=
2 ax 2 +x-(2a-1)
x 2 =
(x+1)[2ax-(2a-1)]
x 2 ，…（9分）
要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．…（10分）
当a=0时，f′（x）=
x+1
x 2 ＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数；…（11分）
当a＜0时，令f′（x）=0，得x ₁ =-1，x ₂ =
2a-1
2a =1-
1
2a ＞1，
此时f（x）在（0，+∞）上不是单调函数； …（12分）
当a＞0时，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要1-2a≥0，即0＜a≤
1
2 ．…（13分）
综上所述，a的取值范围是a∈[0，
1
2 ]．…（14分）