已知O为坐标原点，P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，记直线OP的斜率k=f（x）．

（Ⅰ） 由题意知，k＝f(x)＝
1+lnx
x， (x＞0)，
所以f′(x)＝(
1+lnx
x)′＝−
lnx
x2， (x＞0)
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
故f（x）在x=1处取得极大值．
∵函数f（x）在区间(m，m+
1
2)(m＞0)上存在极值．
∴

0＜m＜1
m+
1
2＞1得[1/2＜m＜1，即实数m的取值范围是
1
2＜m＜1．
（Ⅱ）由题意 f(x)≥
t
x+1]得t≤
(x+1)(1+lnx)
x，
令g(x)＝
(x+1)(1+lnx)
x，(x≥1)，则 g′(x)＝
x−lnx
x2，(x≥1)，
令h（x）=x-lnx，（x≥1），则h′(x)＝1−
1
x＝
x−1
x，
∵x≥1∴h′（x）≥0，
故h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0从而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（1）=2，
∴实数t的取值范围是（-∞，2]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查了学生对极值问题的掌握，同时考查了恒成立问题的处理方法，涉及到2次求导，相对比较难．