已知函数 f(x)= a x 2 +1 x+c （a＞0，c∈R）为奇函数，当x＞0时，f（x）的最小值为2．

（I）由函数 f(x)=
a x 2 +1
x+c （a＞0，c∈R）为奇函数，
可得f（-x）=
a x 2 +1
-x+c =-f（x）=-
a x 2 +1
x+c
∴-x+c=-x-c
∴c=0
∴ f(x)=
a x 2 +1
x
再由x＞0时， f(x)=
a x 2 +1
x ≥
2
a x
x =2
a ，
∵f（x）的最小值为2，得2
a =2，⇒a=1，
故 f(x)=
x 2 +1
x （x≠0）…（4分）
（Ⅱ）欲证原不等式成立，
需证： (a+
1
a )•(b+
1
b )≥
25
4 ．
因为 a+b=1，即证： ab+
2
ab -2≥
25
4 ，
再由a+b=1，a、b∈R ⁺ ， ab≤(
a+b
2 ) 2 =
1
4 ，故 0＜ab≤
1
4 ，
令t=ab，考察函数y=t+
2
t ，它在区间（0，
1
4 ]上是单调减函数，当t=
1
4 时，y=
33
8 ，
∴ ab+
2
ab -2≥
25
4 ，
从而原不等式成立．…（8分）
（学生用其它方法参照给分）
（Ⅲ） g(x)=
1
x ，需证：
n-1
2n ≤
1
2 2 +
1
3 2 +
1
4 2 +…+
1
n 2 ＜
n-1
n
一方面：



1
2 2 +
1
3 2 +
1
4 2 +…+
1
n 2 ＜
1
1×2 +
1
2×3 +
1
3×4 +…+
1
(n-1)n
=1-
1
2 +
1
2 -
1
3 +
1
3 -
1
4 +…+
1
n-1 -
1
n =
n-1
n
…（10分）
另一方面：
1
2 2 =
1
2×2×(2-1)
1
k 2 =
1
k•k ＞
1
k•2(k-1) (k＞3)


1
2 2 +
1
3 2 +
1
4 2 +…+
1
n 2 ≥
1
2 (
1
1×2 +
1
2×3 +
1
3×4 +…+
1
(n-1)n )
=
1
2 (1-
1
2 +
1
2 -
1
3 +
1
3 -
1
4 +…+
1
n-1 -
1
n )=
n-1
2n
综上
n-1
2n ≤
1
2 2 +
1
3 2 +
1
4 2 +…+
1
n 2 ＜
n-1
n ．
…（14分）