将边长为6cm的正六边形纸板的六个角各减去一个全等的四边形,再沿虚线折叠,做成一个无盖直六棱柱纸盒,使侧面积等于底面积,

这个其实只需求出里面那个正六边形的边长即可
那么就设内边长为Xcm
我们可以记大正六边形的一个顶点为A 其对应的小正六边形的那个顶点为B
与A相邻的一个大正六边形的顶点为C 以A、B为顶点的四边形的另外两个定点为D、E
我们可以显然看出BA平分角A 由正六边形一个内角为120°可知∠BAC=60°
AD=（6-X）/2 ,BD=AD*tan60°=根号3（6-X）/2
矩形的另一个边就是X
小正六边形的面积就是6个以X为边长的正三角形的面积之和
也就是二分之三倍根号3倍X的平方
大正六边形的面积同理 就是54倍根号3
6个矩形面积之和为6X（ 根号3（6-X）/2）
这样我们就能获得一个等式
6X*（ 根号3（6-X）/2）=二分之三倍根号3倍X的平方
这样解出X=4
那么,6个小四边形的面积之和就是6*4（根号3（6-4）/2）=24倍根号3 （其实也就是把X=4带入到了上面那个式子之中）