设f（x）为[-a，a]上的连续的偶函数且f（x）＞0，令F（x）=∫a−a|x-t|f（t）dt．

解题思路：（Ⅰ）将F（x）化简，然后求二阶导，根据二阶导的符号，来判断F′（x）单调增加；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出的F（x）的二阶导，判断函数的凹凸性，然后再推导出F（x）的极值点和最值点；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求出的F（x）的最小值，跟f（a）-a²-1建立等式关系，求f（x）．

（Ⅰ）∵F（x）=
∫x−a(x−t)f(t)dt+
∫ax(t−x)f(t)dt
=x
∫x−af(t)dt−
∫x−atf(t)dt+
∫axtf(t)dt-x
∫axf(t)dt
∴F′(x)＝
∫x−af(t)dt+xf(x)−xf(x)−xf(x)−
∫axf(t)dt+xf(x)
=
∫x−af(t)dt−
∫axf(t)dt
∴F″（x）=f（x）+f（x）=2f（x）＞0，
∴F'（x）为单调增加的函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F″（x）＞0，因而F（x）是一个凹函数
由凹函数的性质，知F（x）的最小值点会在F′（x）=0点取到
又f（x）为偶函数
∴F′(0)＝
∫0−af(x)dx−
∫a0f(x)dx＝−
∫0af(−t)dt−
∫a0f(x)dx=
∫a0f(x)dx−
∫a0f(x)dx＝0
∴x=0为F'（x）的唯一极小点，也为最小点．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（x）最小值为F(0)＝
∫a−a|t|f(t)dt＝2
∫a0tf(t)dt
∴2
∫a0tf(t)dt＝f(a)−a2−1
两边求导得
2af（a）=f'（a）-2a，
于是f'（x）-2xf（x）=2x，
这是一阶非齐次线性微分方程，且P（x）=-2x，Q（x）=2x
∴f(x)＝e∫2xdx(∫2xe−∫2xdx+C)＝Cex2−1
又由2
∫a0tf(t)dt＝f(a)−a2−1，令a=0，得
f（0）=1
因此C=2
∴f(x)＝2ex2−1．

点评：
本题考点： 积分上限函数及其求导；极值判定定理；一阶线性微分方程的求解．

考点点评： 此题考查了积分上限函数的导数、凹凸函数的性质以及一阶非齐次线性微分方程的求解，知识点较多，综合性比较强，但难度并不大．