设A,B为Rn中的正交矩阵,证明A^(-1)(即A的逆矩阵) ,A^2,A^*(即A的转置伴随矩阵）都是正交矩阵

证明:注意到 A正交 A'A = AA' = E A^-1 = A'
(0) (AB)'(AB) = B'(A'A)B = B'B = E
所以 AB 也是正交矩阵
(1) 因为 (A^-1)'(A^-1) = (A')'A' = AA' = E
所以 A^-1 是正交矩阵.
(2) 取B=A,A^2 =AB 是正交矩阵
(3) 由 A* = |A|A^-1
而 |A|^2=|A||A'|=|A'A|=|E|=1
所以 |A| = ±1
所以 A*=±A^-1
所以 (A*)'A* = (±A^-1)'(±A^-1) = (A^-1)'(A^-1)=E (这步因为A^-1正交)
所以 A*是正交矩阵..