数学必修四向量的所有公式

1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则．
AB+BC=AC．
a+b=（x+x',y+y'）．
a+0=0+a=a．
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”
a=（x,y） b=（x',y'） 则 a-b=（x-x',y-y'）.
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且|λa|=|λ|•|a|．
当λ＞0时,λa与a同方向；
当λ＜0时,λa与a反方向；
当λ=0时,λa=0,方向任意．
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0．
注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0．
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩．
当|λ|＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的|λ|倍；
当|λ|＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的|λ|倍．
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：（λa）•b=λ（a•b）=（a•λb）．
向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b．② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ．
3、向量的数量积
定义：已知两个非零向量a,b．作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作＜a,b＞并规定0≤＜a,b＞≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a•b．若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos＜a,b＞；若a、b共线,则a•b=+-|a||b|．
向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'．
向量的数量积的运算律
a•b=b•a（交换律）；
（λa）•b=λ（a•b）（关于数乘法的结合律）；
（a+b）•c=a•c+b•c（分配律）；
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方．
a⊥b ＜=＞a•b=0．
|a•b|≤|a|•|b|．
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即：（a•b）•c≠a•（b•c）；例如：（a•b）^2≠a^2•b^2．
2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a•b=a•c （a≠0）,推不出 b=c．
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b．