已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，(n∈N*)，其导函数记为fn′(x)，且满足f2′[ax1+(1-a)x2]

解题思路：（Ⅰ）根据f₂（x）=x²，∴f₂′（x）=2x，可得2[ax₁+（1-a）x₂]=

x22−x12

x2−x1

，化简即可求实数a的值；
（Ⅱ）求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=[1/2]，k=g′（x）=2mx-[3/x]+1，k′=2m+

3

x2

；分类讨论：①当-6≤m＜0或m＞0时，k′≥0恒成立，最大值为m-5；②当m＜-6时，确定函数的单调性，从而可求最大值．

（Ⅰ）∵f₂（x）=x²，∴f₂′（x）=2x
∴2[ax₁+（1-a）x₂]=
x22-x12
x2-x1
∴（x₁-x₂）（2a-1）=0
∵x₁≠x₂，∴a=[1/2]；
（Ⅱ）∵f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3
∴g（x）=mx²+x-3lnx（x＞0）
∵m=1，∴g（x）=x²+x-3lnx（x＞0）
∴g′(x)=
(2x+3)(x-1)
x
令g′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1；令g′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1，
∴m=1时，函数g（x）的单调减区间是（0，1），增区间是（1，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a=[1/2]，k=g′（x）=2mx-[3/x]+1，k′=2m+[3
x2
∵x∈[0，
1/2]]，∴[3
x2∈[12，+∞）
∴①当-6≤m＜0或m＞0时，k′≥0恒成立，∴k=g′（x）在（0，
1/2]]上递增
∴当x=[1/2]时，k取得最大值，且最大值为m-5；
②当m＜-6时，由k′=0，得x=
-
3
2m，而0＜
-
3
2m＜[1/2]
若x∈（0，
-
3
2m），则k′＞0，k单调递增；
若x∈（

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．