拉普拉斯变换为什么能够求解微分方程

拉普拉斯变换提供了一种变换定义域的方法,把定义在时域上的信号（函数）映射到复频域上（要理解这句话,需要了解一下函数空间的概念--我们知道,函数定义了一种“从一个集合的元素到另一个集合的元素”的关系,而两个或以上的函数组合成的集合,就是函数空间,即函数空间也是一个集合；拉普拉斯变换的“定义域”,就是函数空间,可以说,拉普拉斯变换就是一种处理函数的函数.由于拉普拉斯变换定义得相当巧妙,所以它就具有一些奇特的特质）,而且,这是一种一一对应的关系（只要给定复频域的收敛域）,故只要给定一个时域函数（信号）,它就能通过拉普拉斯变换变换到一个复频域信号（不管这个信号是实信号还是复信号）,因而,只要我们对这个复频域信号进行处理,也就相当于对时域信号进行处理（例如设f(t)←→F(s),Re[s]>a,则若我们对F(s)进行时延处理,得到信号F(s-z),Re[s]>a+Re[z],那么就相当于我们给时域函数乘以一个旋转因子e^zt,即f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z]；只要对F(s-z)进行反变换,就可以得到f(t)e^zt）.
拉普拉斯变换被用于求解微分方程,主要是应用拉普拉斯变换的几个性质,使求解微分方程转变为求解代数方程（因为求解代数方程总比求解微分方程容易得多!而且,（可以很方便地）对求解结果进行拉普拉斯反变换从而得到原微分方程的解）.
我们总可以容易地画出实变函数的图像（绝大多数函数的确如此）,但我们难以画出一个复变函数的图象,这也许是拉普拉斯变换比较抽象的原因之一；而另外一个原因,就是拉普拉斯变换中的复频率s没有明确的物理意义.
关于特征根和复数,建议提问者再去看看书中的定义,应该不难理解.

变换之后求特征根