如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=2，点E在PD上，且PE：ED=

解题思路：（Ⅰ）底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，判断出AB=AD=AC=1，进而在△PAB中，推断出PA²+AB²=PB²，可知PA⊥AB，同理也可证明出PA⊥AD，进而根据线面垂直的判定定理推断出PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）设点F是棱PC上的一点，则

PF

，

BP

可表示出来，以A为坐标原点，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，直线AD、AP分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面EAC的法向量要使BF∥平面EAC，需满足

BF

⊥n，从而

BF

•n=0，建立等式求得λ，故F为棱PC的中点时，BF∥平面EAC，并能求得此时F点的坐标，进而求得

PF

的模即为PF的值．

（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=AC=1，
∵在△PAB中，PA=AB=1，PB=
2，
∴PA²+AB²=PB²，
∴PA⊥AB，
同理可知PA⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）设点F是棱PC上的一点，


PF=λ

PC=（

3
2•λ，[1/2]λ，-λ），其中0＜λ＜1，


BP=（-

3
2，[1/2]，1），则

BF=（

3
2λ−

3
2，[1/2]λ+[1/2]，-λ+1），
以A为坐标原点，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，直线AD、AP分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（

3
2，-[1/2]，0），C（

3
2，[1/2]，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（0，[2/3]，[1/3]），
则

AC=（

3
2，[1/2]，0），

AE=（0，[2/3]，[1/3]），
设平面EAC的法向量为n=（x，y，z），


n•

AC＝0
n•

AE＝0，得



3
2x+
1
2y＝0

2
3y+
1
3z＝0，
令x=1，则y=-
3，z=2
3，
故n=（1，-
3，2
3），
即平面EAC的法向量为n=（1，-
3，2），
要使BF∥平面EAC，需满足

BF⊥n，从而

BF•n=0，
即有

3
2λ-

3
2-

3
2λ-

3
2-2
3λ+2
3=0，
解得λ=[1/2]，故F为棱PC的中点时，BF∥平面EAC，
此时F点的坐标为（

3
4，[1/4]，[1/2]），

PF=（

3
4，[1/4]，-[1/2]），
∴PF的值为|

PF|=

3
16+
1
16+
1
4=

2
2．

点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．

考点点评： 本题主要考查了直线平面的垂直的判定定理，法向量的应用，向量的运算等知识．综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．