线性代数的问题设αi=(αi1,αi2,.αin)T.（i=1,2,3.；r＜n)是n维实向量,且α1,α2,.αr线性
线性代数的问题
设αi=(αi1,αi2,.αin)T.（i=1,2,3.；r＜n)是n维实向量,且α1,α2,.αr线性无关.已知β=（b1,b2,.bn)T是线性方程组
a11x1+a12x2+.+a1nxn=0
以下省略.
就是以向量组αi为系数的那个方程组,的非零解向量.试判断向量组α1,α2,.αr,ββ的线性相关性.
设αi=(αi1,αi2,.αin)T.（i=1,2,3.；r＜n)是n维实向量,且α1,α2,.αr线性无关.已知β=（b1,b2,.bn)T是线性方程组
a11x1+a12x2+.+a1nxn=0
以下省略.
就是以向量组αi为系数的那个方程组,的非零解向量.试判断向量组α1,α2,.αr,ββ的线性相关性.
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记矩阵A=(α1,α2,...,αr),由α1,α2,...,αr线性无关知道A的秩是r.
由题意,A'β=0（'代表转置）.
设x1α1+x2α2+...+xrαr+yβ=0,则-yβ=x1α1+x2α2+...+xrαr=Ax,x=(x1,x2,...,xr)'.
所以A'(-yβ)=A'(Ax)=A'Ax=0.
A'A是r×r矩阵,秩为r,所以A'A可逆,所以x=0,即x1=x2=...=xr=0.
所以-yβ=x1α1+x2α2+...+xrαr=Ax=0,因为β≠0,所以y=0.
所以x1=x2=...=xr=y=0.
所以向量组α1,α2,...,αr,β线性无关.
由题意,A'β=0（'代表转置）.
设x1α1+x2α2+...+xrαr+yβ=0,则-yβ=x1α1+x2α2+...+xrαr=Ax,x=(x1,x2,...,xr)'.
所以A'(-yβ)=A'(Ax)=A'Ax=0.
A'A是r×r矩阵,秩为r,所以A'A可逆,所以x=0,即x1=x2=...=xr=0.
所以-yβ=x1α1+x2α2+...+xrαr=Ax=0,因为β≠0,所以y=0.
所以x1=x2=...=xr=y=0.
所以向量组α1,α2,...,αr,β线性无关.
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