已知函数f(x)=4^x-4^-x/4^x+4^-x.（1）求函数定义域.（2）判断函数在R上的单调性并证明.（3）求函

1、x可取任意实数,x∈R,
y=f(x)=4^(-x)[4^(2x)-1]/{4^(-x)[4^(2x)+1]}
=[4^(2x)-1]/[4^(2x)+1],
y'=4*4^(2x)ln4/(4^(2x)+1]^2,
无论x取什么值,y'总是大于0,
∴函数在R上始终是单调增函数.
f(0)=0,
f(x)=[4^x+4^(-x)-2*4^(-x)]/[4^x+4^(-x)]
=1-2*4^(-x)/[4^x+4^(-x)]
=1-2/[4^(2x)+1],
lin[x→+∞]f(x)=1-0=1,
lin[x→-∞]f(x)=1-2=-1,
∴y ∈（-1,1).
3、y=(1/4)^x-(1/2)^(x-1)+3
=(1/2)^(2x)-(1/2)^x/(1/2)+3
=[(1/2)^x]^2-(1/2)^x+3,
令(1/2)^x=t,
y=t^2-2t+3=(t-1)^2+2,
当t=1时有最小值为2,
（1/2)^x=1,
x=0,在[-3,2]区间内,有最小值,为2,很明显,是曲线谷底,
x=0时为单调增加,用求一阶导数也可以说明,
故在边界-3和2中选取函数值较大较大者为最大值,
f(-3)=(1/4)^(-3)-(1/2)^(-3-1)+3=64-16+3=51,
f(2)=(1/4)^2-(1/2)^(2-1)+3=41/16
∴y∈[2,51],
4、f(-x)=[a*2^(-x)-1]/[1+2^(-x)]=-[1-a*2^(-x)]/[1+2^(-x)]
=-[2^x-a]/[1+2^x),
-f(x)=(1-a*2^x/(1+2^x),
∵是奇函数,f(-x)=-f(x),
-(2^x-a)/[1+2^x)=(1-a*2^x/(1+2^x),
-2^x+a=1-a*2^x,
a*(2^x+1)=1+2^x
∴a=1,
∴当 a=1时,f(x)为奇函数.
f(x)=(2^x-1)/(2^x+1),
f'(x)=2ln2*2^x/(2^x+1)^2>0,
∴无论x取何值,函数在R内均为单调增函数.
f(x)=(2^x+1-2)/(2^x+1)=1-2/(2^x+1),
当x=0时,f(0)=0,
x→-∞时,y→-1,x→+∞,y→1,
y=-1,y=1是两条水平渐近线,
∴函数值域:y∈（-1,1）.