我国著名化学家徐光宪因在稀土元素等研究领域做出杰出贡献，荣获2008年度“国家最高科学技术奖”．铈（Ce）是一种常见的稀

解题思路：（1）要求函数f（x）的解析式，只需找到关于a，b，c的三个方程，解方程组即可．由题意可由f（1）=3，且f（x）在R上为奇函数得．
（2）先用等差数列前n项和公式求S_n，得，S_n=

3(n+1)

2

，这时不等式

mn

Sn

＜

mn+1

Sn+1

可化为

mn

3(n+1) 2

＜

mn+1

3(n+2) 2

，在用作差法解不等式即可．
（3）分别用构造法和累加法求数列{a_n}，{b_n}的通项公式，再代入g(n)＝

1 a n，(n为奇数) bn，(n为偶数)

，然后假设存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，分k为奇数和偶数时求k的值．

（1）由题意的，f（1）=a+b-c=3，f（-x）=f（x）对任意x∈R都成立，得f（x）=3x．
（2）Sn＝f(
1
n)+f(
2
n)+f(
3
n)+…+f(
n
n)=3（
1
n+
2
n+
3
n+…+
n
n）=
3
2（1+n），
∵
mn
Sn＜
mn+1
Sn+1化为
mn

3(n+1)
2＜
mn+1

3(n+2)
2，即
2
3mn(
1
n+1−
m
n+2)＜0对任意n∈N⁺恒成立，显然m≤0不成立．
当m＞0时，mⁿ＞0，
∴
1
n+1−
m
n+2＜0对任意n∈N⁺恒成立，
∴m＞
n+2
n+1对任意n∈N⁺恒成立．而
n+2
n+1的最大值为
3
2，
∴m＞
3
2．
（3）由a₁=1，an+1＝
f(an)
2f(an)+3，可得
1
an+1−
1
an＝2，
∴数列{
1
an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴
1
an=2n-1．
由b₁=1，bn+1−bn＝
1
an，用累加法可得b_n=（n-1）²+1，
∴g(n)＝


1
an，(n为奇数)
bn，(n为偶数)=

2n−1(n为奇数)
(n−1)2+1(n为偶数)，
当k为奇数时，g（k+1）=2g（k），（k+1-1）²+1=2（2k+1）得，k=1或k=3．
当k为偶数时，2k²-6k+3=0无偶数解．
综上，存在k=1或k=3满足条件．

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；奇函数．

考点点评： 本题是数列，函数，不等式的综合应用，考查面广，须认真审题，找到个知识点的突破口．