如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿
| 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA． （1）请用含t的代数式表示出点D的坐标； （2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？ （3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．  |
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（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，
则F点的坐标为（
t
2 ，1），
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，
t
2 ）；
（2）∵D点坐标为（t+1，
t
2 ），OA=4，
∴S △DPA =
1
2 AP×
t
2 =
1
2 （4-t）×
t
2 =
1
4 （4t-t 2 ）=-
1
4 （t-2） 2 +1，
∴当t=2时，S 最大 =1；
（3）能构成直角三角形．
①当∠PDA=90°时，PC ∥ AD，
由勾股定理得，PD 2 +AD 2 =AP 2 ，
即（
t
2 ） 2 +1+（4-t-1） 2 +（
t
2 ） 2 =（4-t） 2 ，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，
可知，△COP ∽ △PAD，
∴
CP
PD =
CO
PA ，
∴
2
1 =
2
PA ，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．
（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2
5 ，
∴点D运动路线的长为2
5 ．
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，
则F点的坐标为（
t
2 ，1），
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，
t
2 ）；
（2）∵D点坐标为（t+1，
t
2 ），OA=4，
∴S △DPA =
1
2 AP×
t
2 =
1
2 （4-t）×
t
2 =
1
4 （4t-t 2 ）=-
1
4 （t-2） 2 +1，
∴当t=2时，S 最大 =1；
（3）能构成直角三角形．
①当∠PDA=90°时，PC ∥ AD，
由勾股定理得，PD 2 +AD 2 =AP 2 ，
即（
t
2 ） 2 +1+（4-t-1） 2 +（
t
2 ） 2 =（4-t） 2 ，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，
可知，△COP ∽ △PAD，
∴
CP
PD =
CO
PA ，
∴
2
1 =
2
PA ，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．
（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2
5 ，
∴点D运动路线的长为2
5 ．
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