一个自然数恰好有18个约数，那么它最多有______个约数的个位是3．

解题思路：根据因数个数的公式反推，①：18=2×3×3=（1+1）×（2+1）×（2+1），这个自然数可能是M×N²×K²的形式；②：18=3×6=（2+1）×（5+1），这个自然数可能是MM²×N⁵的形式；然后进行分析，进而得出结论．

根据因数个数的公式反推，情况一：
18=2×3×3=（1+1）×（2+1）×（2+1），这个自然数可能是M×N²×K²的形式；
则使其个位含3的因数最多的可能是：M是个位为3的质数、N是个位为1的质数、K是个位为1的质数，
则个位含3的因数个数有：（2+1）×（2+1）=9个；
情况二：18=3×6=（2+1）×（5+1）
这个自然数可能是MM²×N⁵的形式；
则使其个位含3的因数最多的可能是：M是个位为3的质数、N是个位为1的质数，则个位含3的因数个数有5+1=6个；粗略考虑其他情况如：7的3次方尾数为3等，均使得M、N可用的幂次数大大下降，则个位含3的因数个数无法超过2×4、3×3的情况，即不会比9多．
综上，一个自然数恰好有18个因数，最多有9个因数个位是3．
故答案为：9．

点评：
本题考点： 约数个数与约数和定理．

考点点评： 此题考查了约数个数及约数和定理，利用因数的个数公式进行反推，是解答此类题的一个重要方法．

。。。这个题好难，不过楼上是错的，因为他的约数不止18个了，还包括：13*23,13*43......

设此数P 因为18=2*9=3*6 所以P=a*b^8 或P=a^2*b^5 [a ,b 是质数]
而个位是3 就说明a,b的个位是1和3 或是7 和9
如果是a*b^8形式最多是8 .[因为任何自然数k^5与k的个位数一样〕，假如a=11,b=3 就有3*11 ，3*3*3*3*3，3*3*3*3*3*11 和3*3*3*3*3*3
如果a=3 b=11 就有3*1...