椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=3(x+c)与

解题思路：由直线y＝

3

(x+c)可知斜率为

3

，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，可得∠MF2F1＝30°，进而∠F1MF2＝90°．
设|MF₂|=m，|MF₁|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得

m2+n2＝(2c)2 m+n＝2a m＝ 3 n

，解出a，c即可．

如图所示，
由直线y=
3(x+c)可知倾斜角α与斜率
3有关系
3=tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．
设|MF₂|=m，|MF₁|=n，则

m2+n2=(2c)2
m+n=2a
m=
3n，解得
c
a=
3-1．
∴该椭圆的离心率e=
3-1．
故答案为
3-1．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．