直线和椭圆的习题椭圆的a=2,b=1,则过点（0,2）的直线与椭圆相交于A、B两点,则三角形OAB的面积最大时,求直线方

1.椭圆方程为x^2+4y^2=4时,设直线为y=kx+2
O(0,0)到直线的距离为:d=2/√(k^2+1)
把直线代入椭圆可得:(4k^2+1)x^2+16kx+12=0
于是:x1+x2=-16k/(4k^2+1),x1x2=12/(4k^2+1)
│AB│=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√(k^2+1)√[(x1+x2)^2-4x1x2]
S△OAB=1/2*d*│AB│=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=4√(4k^2-3)/(4k^2+1)
=4/[√(4k^2-3)+4/√(4k^2-3)]≤4/{2√[√(4k^2-3)*4/√(4k^2-3)]}
=1
等号当且仅当√(4k^2-3)=4/√(4k^2-3)成立,此时k=±√7/2
当直线为y=±√7x/2+2时,三角形面积为最大：1
2.椭圆方程为4x^2+y^2=4时,由对称性取k≥0
把直线代入椭圆可得:x1-x2=4k/(k^2+4)
S△OAB=4/(k+4/k)≤1,等号成立时,k=2
由对称性可知k=-2时,S=1
当直线为y=±2x+2时,三角形面积为最大：1