如果三个正实数x y z满足x²+xy+y²=25/4 、y²+yz+z²=36

该题可以进行图形辅助解析
由x²+y²+xy=25/4
x²+z²+xz=169/4
y²+z²+yz=36=144/4
可以看出：144/4+25/4=169/4
这时可以借此联想到余弦定理
过点O做两两夹角为120度的三条线段,设AO=x,BO=y,CO=z(如下图所示,∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°)
在△ABO中 由余弦定理可得：AB²=AO²+BO²－2AO*BO*cos∠AOB=x²+y²－xy*2cos120°=x²+y²+xy=25/4
同理在△AOC中 由余弦定理可得：AC²=x²+z²+xz=169/4
在△BOC中 由余弦定理可得：BC²=y²+z²+yz=36=144/4分别解出：AB=5/2AC=13/2BC=6
由上述三式知：AC²=AB²+BC²即△ABC是直角三角形
所以S△ABC=AB*BC/2=15/2…………①
由正余弦定理知 S△AOB=½*AO*BO*sin∠AOB=(√3/4)xy
同理：S△AOC=(√3/4)xzS△BOC=(√3/4)yz
即S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=√3（xy+xz+yz）/4…………②
由①②两式可解得：
xy+xz+yz=10√3（十倍根号三）

1年前