已知a ,b, c三个正实数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc

04175106811,
∵ab＋a＋b＋1＝（a＋1）×（b＋1）,
ab＋ac＋bc＋c^2＝（a＋c）×（b＋c）,
∴（ab＋a＋b＋1）（ab＋ac＋bc＋c^2）＝（a＋1）（b＋1）（a＋c）（b＋c）.
∵a、b、c∈R＋,
∴a＋1≥2√a＞0,b＋1≥2√b＞0,
a＋c≥2√ac＞0,b＋c≥2√bc＞0．
∴（a＋1）×（b＋1）×（a＋c）×（b＋c）≥2√a×2√b×2√ac×2√bc＝16abc,
即（ab＋a＋b＋1）（ab＋ac＋bc＋c^2）≥16abc.

左边可以因式分解为=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)>=2根号a*2根号b*2根号ac*2根号bc=16abc

ab+a+b+1=(a+1)(b+1)
ab+ac+bc+c²=(a+c)(b+c)
都用平均不等式
比如a+c≥2根号下ac
乘起来就是(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc