已知向量a=(3cosx，cosx），b=（0，sinx），c=（sinx，cosx），d=（sinx，sinx）．

解题思路：（Ⅰ）x=[π/4]带入向量

a

，

b

，即可求得

a

，

b

坐标，而根据坐标即可求向量

a

，

b

夹角的余弦值，根据余弦值即可求得向量

a

，

b

夹角；
（Ⅱ）求出

c

•

d

＝

1

2

+

1

2

(sin2x−cos2x)，而根据两角差的正弦公式得到，

c

•

d

＝

1

2

+

2

2

sin(2x−

π

4

)，所以根据x的范围[0，

π

2

]可求出2x−

π

4

的范围[−

π

4

，

3

4

π]，根据正弦函数的最大值即可求得

c

•

d

的最大值．

（I）∵x=[π/4]，∴

a＝(

6
2，

2
2)，

b＝(0，

2
2)；
∴cos＜

a，

b＞=


a•

b
|

a||

b|＝

1
2

2•

2
2＝
1
2；
∴向量

a，

b的夹角为[π/3]；
（Ⅱ）

c•

d=（sinx，cosx）•（sinx，sinx）=sin²x+sinxcosx=[1−cos2x/2+
sin2x
2]=
1
2+

2
2(sin2x•cos
π
4−cos2x•sin
π
4)=
1
2+

2
2sin(2x−
π
4)；…（10分）
∵x∈[0，
π
2]，∴(2x−
π
4)∈[−
π
4，
3π
4]；
∴当2x−
π
4=[π/2]，即x=[3π/8]时，

c•

d取最大值
1+
2
2．

点评：
本题考点： 平面向量的综合题．

考点点评： 考查向量夹角余弦值的坐标运算，以及两角差的正弦公式，正弦函数的最大值．