已知函数f（x）=lnx-12x+lne2，g（x）=3x2-2x-f（x）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设函数h

（1）由于函数f（x）=lnx-[1/2]x+ln[e/2]，
故导数f′(x)＝
1
x?
1
2＝
2?x
2x．
∴当0＜x＜2时，f′（x）＞0；当x＞2时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（2，+∞）；
（2）g（x）=[3x/2]-[2/x]-lnx+[x/2]-ln[e/2]，
则g′（x）=2-[1/x]+[2
x2=
2x2?x+2
x2，
而2x²-x+2=2（x-
1/4]）²+[15/8]＞0，故在（0，1]上g′（x）＞0，
即函数g（x）在（0，1]上单调递增，∴g（x）_max=g（1）=ln2-1，
而“存在x₁∈（0，1]，对任意的x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立”
等价于“g（x）在（0，1]上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”，
而h（x）在[1，2]上的最大值为h（1），h（2）中的最大者，记为max{h（1），h（2）}
所以

g(1)≥h(1)
g(1)≥h(2)，即有

ln2?1≥5?m
ln2?1≥8?2m，
则

m≥6?ln2
m≥
1
2(9?ln2)即有m≥6-ln2．
故实数m的取值范围为[6-ln2，+∞）．