如图①,已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C,以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC.
如图①,已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C,以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC.
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折,使得点A的与点C重合,折痕交AB于点D,求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内,是否存在点P（除点B外）,使得△APC与△ABC全等?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折,使得点A的与点C重合,折痕交AB于点D,求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内,是否存在点P（除点B外）,使得△APC与△ABC全等?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．
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（1）y=-2x+4,代入y=0得x=2,∴A（2,0） 代入x=0得y=4,∴C（0,4）
（2）设D（2,y）,根据折叠的性质可得CD=AD=y,BD=4-y,2²+（4
-y）²=y²,解得y=2.5
设直线CD的解析式为y=kx+4,代入x=2,y=2.5 得k=-0.75 ∴直线CD的解析式为y=-0.75x+4
（3）①点O符合要求,P1（0,0）
②点O关于AC的对称点也是符合要求的P点,有∠ACP=∠BAC=∠ACO,∴P可在直线CD上,设P（x,-0.75x+4）,（x-2）²+（-0.75x+4）²=2² 解得x=3.2 ∴P2（3.2,1.6）
③点B关于AC的对称点也是符合要求的P点,作PQ⊥y轴于点Q 根据对称性得CP=CB=2,PQ=BD=1.5,CQ=2.5,OQ=1.5 ∴Q（0,1.5）,可求得直线AP的解析式为y=-0.75x+1.5,设P（2-4/3y,y）,（4-y）²+（2-4/3y）²=2²,y=2.4,P3（-1.2,2.4）
（2）设D（2,y）,根据折叠的性质可得CD=AD=y,BD=4-y,2²+（4
-y）²=y²,解得y=2.5
设直线CD的解析式为y=kx+4,代入x=2,y=2.5 得k=-0.75 ∴直线CD的解析式为y=-0.75x+4
（3）①点O符合要求,P1（0,0）
②点O关于AC的对称点也是符合要求的P点,有∠ACP=∠BAC=∠ACO,∴P可在直线CD上,设P（x,-0.75x+4）,（x-2）²+（-0.75x+4）²=2² 解得x=3.2 ∴P2（3.2,1.6）
③点B关于AC的对称点也是符合要求的P点,作PQ⊥y轴于点Q 根据对称性得CP=CB=2,PQ=BD=1.5,CQ=2.5,OQ=1.5 ∴Q（0,1.5）,可求得直线AP的解析式为y=-0.75x+1.5,设P（2-4/3y,y）,（4-y）²+（2-4/3y）²=2²,y=2.4,P3（-1.2,2.4）
1年前
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1年前2个回答
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