任何可逆矩阵都可以化成正交矩阵吗?如果矩阵A可以对角化,则使其对角化的可逆矩阵P必可以化成正交矩阵吗

任何可逆矩阵都可以化成正交矩阵吗?如果矩阵A可以对角化,则使其对角化的可逆矩阵P必可以化成正交矩阵吗
书上是求到可逆矩阵P就完了.
对角化了化成正交矩阵可能没有实际意义
但如果不考虑化成正交矩阵的实际意义,仅仅考虑可不可行
假设A已经满足了对角化的条件,
那么使它对角化的可逆矩阵P可以化成正交矩阵吗?
chali 1年前 已收到1个回答 举报
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5gh9lwc 幼苗

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任何可逆矩阵都可以化成正交矩阵吗?
-- 看你所说的 “化成”指什么了.如果是指相似变换,结论是一般不可以.因为相似变换不改变特征根,而正交矩阵的特征根的绝对值都是1.但一般矩阵的特征值可以为任意值.
如果矩阵A可以对角化,则使其对角化的可逆矩阵P必可以化成正交矩阵吗
- 一般不可以.因为正交矩阵保距保角,而一般矩阵没有.
保距指：任给向量x,|Ax|=|x|
保角指：任给向量x,y,角(Ax,Ay)=角(x,y)
于是 可以通过正交矩阵对角化,意味着原矩阵的特征向量都是两两相互垂直的.而一般矩阵的可对角化,只要求特征向量之间线性无关,并不一定垂直.

1年前 追问

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chali 举报

谢谢你的回答 有些定义没有学到额，我学得比较浅。换种问法哈 施密特正交化的条件是什么， 任何可逆矩阵都可以通过施密特正交化化成正交矩阵吗？ 如果矩阵A可以对角化，那么使其对角化的可逆矩阵P可以通过施密特正交化化成正交矩阵吗？ 为什么实对称矩阵对角化时，必存在正交矩阵Q使其对角化

举报 5gh9lwc

施密特正交化 你指把一组基变成正交吧。这里不是谈矩阵变形，而是通过矩阵改变基。 施密特正交化的条件是什么 -- 线性无关 任何可逆矩阵都可以通过施密特正交化化成正交矩阵吗？ 你先澄清： 设 R^n, 有n维向量 a1,a2,.. 和n×n矩阵 A1， A2，。。。 你所说的 施密特正交化 是对 a1,a2,... 还是对 A1， A2，。。。

chali 举报

谢谢你耐心的回答。 我们学得浅，一般对于实对称矩阵A求使它对角化的正交矩阵Q 先求特征值，不同的特征值的特征向量已经正交，对同一特征值的特征向量施密特正交化，再单位化就求得Q 对于一般矩阵对角化，先求特征值，然后求对应的特征向量，如果满足对角化的条件，那求的的特征向量就是P的列向量，这样就求得可逆矩阵P 那么对这些特征向量就是P的列向量进行施密特正交变换，是不是可以把P化成正交矩阵呢

举报 5gh9lwc

可以。 但P=QA1A2...Ak 其中 Ai 是列向量初等变换。 于是 A=PBP^(-1). B: 对角阵 转变为： A=QA1...AkBAk^(-1)...A1^(-1)Q^(-1) 然后你想。。 希望 A=QBQ^(-1) 结论是不可能。因为Ai 不是正交矩阵
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你能帮帮他们吗

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