微分方程 dy/dx = y 的通解
微分方程 dy/dx = y 是一个经典的一阶常微分方程。它描述了一个函数 y(x) 的变化率（导数 dy/dx）与其自身当前值（y）成正比的规律。这类方程在物理学、生物学、金融学等领域极为常见，例如描述人口增长、放射性衰变或连续复利。求解该方程，即寻找所有满足此关系的函数 y(x)。
求解过程与通解形式
求解此方程的核心方法是分离变量法。首先，将方程改写为 dy/y = dx，这一步将含有 y 的项和含有 x 的项分别置于等号两边。接着，对等式两边同时积分：∫ (1/y) dy = ∫ 1 dx。计算积分，得到 ln|y| = x + C₁，其中 C₁ 是任意常数。为了解出 y，我们对等式两边取自然指数：e^(ln|y|) = e^(x + C₁)。化简后得到 |y| = e^(C₁) * e^x。由于 e^(C₁) 是一个正常数，我们引入一个新的任意常数 C（C ≠ 0），使得 |y| = C e^x。最后，考虑到 y=0 也是原方程的一个解（代入验证成立），我们可以将常数 C 的取值范围扩展为全体实数。因此，方程的通解为 y = C e^x，其中 C 为任意常数。
这个通解具有深刻的含义。它表明，所有满足“函数变化率等于自身”的函数，本质上都是指数函数。常数 C 由初始条件决定：例如，若已知当 x=0 时 y=2，则可解出 C=2，从而得到特解 y=2e^x。指数函数的特性完美地体现了这种比例关系：函数值越大，其增长越快，形成典型的“指数增长”模式。因此，通解 y = Ce^x 简洁而完整地概括了该微分方程的所有可能解。