（2013•龙岩质检）如图 ①，点P是正多边形A1A2A3…An的边A2A3上一点（不与点A2，A3重合），M是A2A3

（1）（i）证明：∵∠A₁PA₃是△A等边三角形；
∠A₁PA₃是△A₁A₂P的外角，
∴∠A₁PA₃=∠A₂A₁P+∠A₂，
而∠A₁PA₃=∠A₁PN+∠NPA₃，
又∵∠A₂=∠A₁PN=60°，
∴∠A₂A₁P=∠NPA₃；
（ii）如图1：
，
过点N作NM∥A₁A₃交PM于M．
∴∠NMA₃=∠A₁A₃A₂=60°
∴∠A₂=∠NMA₃
在△A₁A₂P和△PMN中，


∠A2A1P＝∠MPN
∠A1A2P＝∠PMN
AP＝NP，
∴△A₁A₂P≌△PMN（AAS），
∴A₁A₂=PM，A₂P=NM．
又∵A₁A₂=A₂A₃，
∴A₂A₃=PM，
∴A₂P=A₃M，
∴A₃M=NM，
∴△A₃NM是等边三角形，
∴∠NA₃M=60°；
（2）∠NA3M＝
180°
k；
证明：如图2所示，

过N作NQ∥A₄A₃交PM于Q
与（1）中（ii）方法相同易得△A₁A₂P≌△PQN，
A₂P=NQ，PQ=A₁A₂=A₂A₃，
∴A₃Q=NQ，
∴∠NQA3＝
(k−2)•180°
k，
∴△A₃NQ是等腰三角形，
∴∠NA3M＝
180°−
(k−2)•180°
k
2＝
180°
k．

点评：
本题考点： 几何变换综合题．

考点点评： 本题考查了几何变换综合题，利用了三角形的外角的性质，全等三角形的性质，构造全等三角形是解题关键，题目稍有难度．