xsinx的原函数求解方法
在微积分中，求函数xsinx的原函数，即求其不定积分∫x sinx dx。这是一个典型的“分部积分法”应用问题。分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du，其核心在于巧妙选择u和dv，使得新的积分∫v du比原积分更容易计算。对于被积函数xsinx，我们通常选择代数函数部分作为u，超越函数部分作为dv。因此，令u = x，dv = sinx dx。接下来进行微分和积分计算：du = dx，而v = ∫sinx dx = -cosx。
计算过程与最终结果
将u, v, du代入分部积分公式：∫x sinx dx = u*v - ∫v du = x*(-cosx) - ∫(-cosx) dx = -x cosx + ∫cosx dx。而∫cosx dx = sinx + C（C为任意常数）。因此，我们得到最终结果：∫x sinx dx = -x cosx + sinx + C。这个表达式就是xsinx的全部原函数族，其中C代表积分常数。我们可以通过求导来验证结果的正确性：对(-x cosx + sinx + C)求导，应用乘积法则和基本导数公式，结果恰好等于xsinx，这证实了我们的计算无误。
结论与应用
综上所述，函数f(x)=xsinx的原函数（不定积分）是F(x) = -x cosx + sinx + C。掌握这类积分的关键在于熟练运用分部积分法，并正确选择u和dv。该结果在物理学和工程学中具有实际应用，例如在计算某些周期运动做功或信号处理相关问题时会遇到此类积分。理解其推导过程，比单纯记忆结果更为重要。