因式分解：数学中的关键技巧
因式分解是代数中的一项基础且至关重要的技能，它如同解开数学谜题的钥匙，能将复杂的多项式表达式转化为更简单的乘积形式。这不仅有助于简化计算、求解方程，更是深入理解函数性质和图形的基础。掌握因式分解，意味着为后续的数学学习铺平了道路。下面，我们将通过五道典型的练习题来深入探讨这一技巧，其中特别包含形如“X的二次方乘以（Y的二次方-9）”这类混合变量的题目。
五道经典因式分解题解析
第一题：x² - 9。这是一个标准的平方差公式，直接分解为 (x+3)(x-3)。第二题：x² + 6x + 9。这是一个完全平方公式，结果为 (x+3)²。第三题：2x² - 8。先提取公因式2，得到 2(x² - 4)，再对括号内使用平方差公式，最终结果为 2(x+2)(x-2)。
第四题：x²y² - 9x²。这道题正是标题中提到的类型。解题的关键是首先观察并提取公共因子。两项都含有x²，因此可以提取公因式x²，得到 x²(y² - 9)。接下来，括号内的 y² - 9 又是一个平方差公式，可以进一步分解为 (y+3)(y-3)。因此，这道题的最终因式分解结果是 x²(y+3)(y-3)。这类题目训练了我们识别多重结构并进行分步分解的能力。
第五题：x³ - x。此题需要先提取公因式x，得到 x(x² - 1)，再利用平方差公式分解括号部分，最终结果为 x(x+1)(x-1)。通过这五道题，我们从简单到复合，系统地练习了提取公因式、平方差公式和完全平方公式的综合运用，充分展现了因式分解的逻辑与美感。