高中关于椭圆方程的数学题!已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F(1,0),M 为椭圆上的顶点,O为坐标
高中关于椭圆方程的数学题!
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F(1,0),M 为椭圆上的顶点,O为坐标原点,且三角形OMF是等腰直角三角形,第一问,求椭圆的方程 第二问,过点M分别作直线MA,MB交椭圆与A,B两点,设直线斜率分别为k1,k2,且k1＋k2＝8,证明,直线AB过定点（－1╱2,－2）
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F(1,0),M 为椭圆上的顶点,O为坐标原点,且三角形OMF是等腰直角三角形,第一问,求椭圆的方程 第二问,过点M分别作直线MA,MB交椭圆与A,B两点,设直线斜率分别为k1,k2,且k1＋k2＝8,证明,直线AB过定点（－1╱2,－2）
赞 璐琳 幼苗
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由题意,椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F(1,0）.
即c=1
又因为三角形OMF是等腰直角三角形 (M必为上顶点或者下顶点）
则b=c=1 得：a^2=b^2+c^2=2
所以椭圆方程为x^2/2+y^2=1
（2）当M（0,1）时,设AB的方程为y=kx+t.联立直线AB与椭圆方程
得：(1+4k^2)x^2+8ktx+4t^2-4=0.
所以x1+x2=-4kt/(1+2k^2),
x1x2=(2t^2-2)/(1+2k^2).
因为k1+k2=8,
所以(y1-1)/x1+(y2-1)/x2=8.(利用点M求斜率K1,K2)
而y1=kx1+t,y2=kx2+t,代入上式得2k+[(t-1)(x1+x2)/x1x2]=8.
【代入x1+x2=-4kt/(1+2k^2),x1x2=(2t^2-2)/(1+2k^2).】
化简得t=(k-4)/2,
所以直线AB的方程为y=kx+(k-4)/2=k(x+1/2)-2
所以AB过定点（-1/2,-2）
即c=1
又因为三角形OMF是等腰直角三角形 (M必为上顶点或者下顶点）
则b=c=1 得：a^2=b^2+c^2=2
所以椭圆方程为x^2/2+y^2=1
（2）当M（0,1）时,设AB的方程为y=kx+t.联立直线AB与椭圆方程
得：(1+4k^2)x^2+8ktx+4t^2-4=0.
所以x1+x2=-4kt/(1+2k^2),
x1x2=(2t^2-2)/(1+2k^2).
因为k1+k2=8,
所以(y1-1)/x1+(y2-1)/x2=8.(利用点M求斜率K1,K2)
而y1=kx1+t,y2=kx2+t,代入上式得2k+[(t-1)(x1+x2)/x1x2]=8.
【代入x1+x2=-4kt/(1+2k^2),x1x2=(2t^2-2)/(1+2k^2).】
化简得t=(k-4)/2,
所以直线AB的方程为y=kx+(k-4)/2=k(x+1/2)-2
所以AB过定点（-1/2,-2）
1年前
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