已知直线l与圆x2+y2+2x=0相切于点T，且与双曲线x2-y2=1交于相异两点A、B.若T是线段AB的中点，求直线l
已知直线l与圆x2+y2+2x=0相切于点T，且与双曲线x2-y2=1交于相异两点A、B.若T是线段AB的中点，求直线l的方
一道数学题
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直线l与x轴不平行，设l的方程为 x=ky+a，代入双曲线方程 整理得（k2-1）y2+2kay+a2-1=0．
而k2-1≠0，于是y T＝yA+yB2＝−akk2−1，从而xT＝kyT+a＝−ak2−1，即 T(ak1−k2，a1−k2)．
∵点T在圆上，∴(ak1−k2)2+(a1−k2)2+2a1−k2＝0，即k2=a+2，
由圆心O'（-1，0），O'T⊥l 得 kO'T•kl=-1，则 k=0，或 k2=2a+1．
当k=0时，由①得 a=-2，∴l 的方程为 x=-2；
当k2=2a+1时，由①得 a=1K＝±3，∴l的方程为 x＝±3y+1．
故所求直线l的方程为x=-2或 x＝±3y+1．
而k2-1≠0，于是y T＝yA+yB2＝−akk2−1，从而xT＝kyT+a＝−ak2−1，即 T(ak1−k2，a1−k2)．
∵点T在圆上，∴(ak1−k2)2+(a1−k2)2+2a1−k2＝0，即k2=a+2，
由圆心O'（-1，0），O'T⊥l 得 kO'T•kl=-1，则 k=0，或 k2=2a+1．
当k=0时，由①得 a=-2，∴l 的方程为 x=-2；
当k2=2a+1时，由①得 a=1K＝±3，∴l的方程为 x＝±3y+1．
故所求直线l的方程为x=-2或 x＝±3y+1．
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