如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P(12，14)是三角板内一点
如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P(| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（1）求直线MN的方程？
（2）求点M，N的坐标，并求k范围？
（3）用区间D表示△AMN的面积的取值范围，求出区间D？若S2＞m（-2S+1）对任意S∈D恒成立，求m的取值范围？
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解题思路：（1）利用点斜式即可得出；
（2）由已知可得：直线OA方程为：y=x 直线AB方程为：x=1，分别与直线MN的方程联立即可得出；
（3）利用三角形的面积计算公式可得S△AMN，通过换元利用导数即可得出其单调性最值，进而得出区间D；
已知S2＞m（-2S+1）对任意S∈D恒成立．可转化为m＜
＝
，S∈[
，
]，
∈[3，4]．
再利用二次函数的单调性即可得出．
（2）由已知可得：直线OA方程为：y=x 直线AB方程为：x=1，分别与直线MN的方程联立即可得出；
（3）利用三角形的面积计算公式可得S△AMN，通过换元利用导数即可得出其单调性最值，进而得出区间D；
已知S2＞m（-2S+1）对任意S∈D恒成立．可转化为m＜
| S2 |
| −2S+1 |
| 1 | ||
(
|
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| S |
再利用二次函数的单调性即可得出．
（1）依题意得直线MN的斜率存在，则设MN方程为：y−
1
4＝k(x−
1
2)．
（2）∵AB⊥OB，|AB|=|OB|=1，
∴直线OA方程为：y=x 直线AB方程为：x=1，
由
y−
1
4＝k(x−
1
2)
y＝x得M(
2k−1
4(k−1)，
2k−1
4(k−1))．
∵[2k−1
4(k−1)≥0，∴k＞1或k≤
1/2]，
又由
y−
1
4＝k(x−
1
2)
x＝1得N(1，
2k+1
4)且[2k+1/4≥0，
得k≥−
1
2]，∴−
1
2≤k≤
1
2．
（3）S△AMN=[1/2•|AN|•h＝
1
2[1−
2k−1
4][1−
2k−1
4(k−1)]=
1
32[4(1−k)+
1
1−k+4]．
设t＝1−k∈[
1
2，
3
2]，f(t)＝4t+
1
t]．
∵f′(t)＝4−
1
t2＝
4t2−1
t2≥0，
∴f（t）在[
1
2，
3
2]是单调递增．
∴当t＝
3
2时，f(t)＝
20
3，即当1-k=[3/2]时即k=−
1
2时，
（S△）max=[1/32[
20
3+4]＝
1
3].t＝
1
2（S△）min=[1/4]，∴D＝[
1
4，
1
3]．
已知S2＞m（-2S+1）对任意S∈D恒成立．
又∵−2S+1∈[
1
3，
1
2]，
∴m＜
S2
−2S+1＝
1
(
1
S−1)2−1，S∈[
1
4，
1
3]，[1/S∈[3，4]．
∴m＜(
1
(
1
S−1)2−1)min＝
1
8]．
点评：
本题考点： 点到直线的距离公式；两条直线的交点坐标．
考点点评： 本题考查了直线的点斜式方程、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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