已知平面内动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与其到定直线l：x=4的距离之比是[1/2]，设动点P的轨迹为M，轨迹

（1）由题意得

(x−1)2+y2
|x−4|=[1/2]，
则4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，
即3x²+4y²=12，∴
x2
4+
y2
3=1，即是轨迹M的方程．
（2）由（1）易知轨迹M与x轴的负半轴交于点A（-2，0）．
直线BC过点A时，A，B，C三点不能构成三角形，故直线BC的斜率不等于0，故可设直线BC的方程为x=my+1，由

x＝my+1

x2
4+
y2
3＝1，得（3m²+4）y²+6my-9=0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则
y₁+y₂=-[6m
3m2+4，y1y2＝−
9
3m2+4
如果△ABC是以BC为底边的等腰三角形，必有|AB|=|AC|，
∴（x₁+2）²+y₁²=（x₂+2）²+y₂²，
∴（x₁+x₂+4）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴[m（y₁+y₂）+6][m（y₁-y₂）]+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵y₁≠y₂，∴（m²+1）（y₁+y₂）+6m=0，
∴（m²+1）（-
6m
3m2+4）+6m=0，
∴m=0或
m2+1
3m2+4=1（无解），即如果△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则m=0，此时直线BC垂直于x轴．
反之，当直线BC垂直于x轴时，直线BC的方程是x=1，
易知B（1，-

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．

考点点评： 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意培养解题能力，提高解题技巧．

1年前

回答问题