longmagic999 幼苗
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3 |
设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°.
∵m+n=2a,∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn,
∴4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2.
又mn≤( [m+n/2])2=a2(当且仅当m=n时取等号),
∴4a2-4c2≤3a2,∴
c2
a2≥[1/4],即e≥[1/2].
∴e的取值范围是[[1/2],1).
(2)由(1),得mn=
4(a2−c2)
3=
4
3b2,
∴S△F1PF2=[1/2]mnsin60°=
3
3b2,
面积表达式中的字母只含有b,可得:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
点评:
本题考点: 椭圆的简单性质.
考点点评: 本题给出椭圆上一点与椭圆两个焦点构成的三角形,求三角形的面积并讨论椭圆的离心率,着重考查了椭圆的定义与简单性质、基本不等式求最值和用正余弦定理解三角形等知识,属于中档题.
1年前
已知F1F2是椭圆的两个焦点 p为椭圆上一点 角F1PF2=60
1年前1个回答
你能帮帮他们吗