根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．

由已知可得4＜a＜10，则a可取5，6，7，8，9．（第一步）
当a=5时，代入a²-10a+21=5²-10×5+21≠0，故a=5不是方程的根．
同理可知a=6，a=8，a=9都不是方程的根．
∴a=7是方程的根．（第二步）
∴△ABC的周长是3+7+7=17（cm）．
上述过程中，第一步是根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，第二步应用了 分类讨论数学思想，确定a的值的大小是根据 方程根的定义．
故答案为：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分类讨论，方程根的定义．

点评：
本题考点： 一元二次方程的解；三角形三边关系．

考点点评： 考查了一元二次方程的解和三角形三边关系，解答此题应根据三角形三边之间的关系判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．