已知函数f（x）=Asin（ωx+∅），（A＞0，ω＞0，0＜∅＜π），x∈R的最大值是2，最小正周期为2π，其图象经过

解题思路：（1）依题意，可求得A，ω，把点M（[π/2]，1）代入f（x）=2sin（x+∅）（0＜∅＜π）可求得∅，从而可得f（x）的解析式；
（2）利用2kπ+[π/2]≤x+[π/3]≤2kπ+[3π/2]即可求得函数f（x）的单调减区间；
（3）利用诱导公式与同角三角函数间的基本关系可求得sinα=[1/3]，cosα=-

2 2

3

，从而可求得tan（2π-α）．

（1）由题意得：A=2，ω=[2π/T]=1，
所以f（x）=2sin（x+∅），
把点M（[π/2]，1）代入得：2sin（[π/2]+∅）=1，
即cos∅=[1/2]，又0＜∅＜π，
所以∅=[π/3]，f（x）=2sin（x+[π/3]）．
（2）令z=x+[π/3]．函数y=sinz的单调递减区间是：[2kπ+[π/2]，2kπ+[3π/2]]，
由2kπ+[π/2]≤x+[π/3]≤2kπ+[3π/2]，2kπ+[π/6]≤x+[π/3]≤2kπ+[7π/6]（k∈Z），
所以函数f（x）的单调减区间是[2kπ+[π/6]，2kπ+[7π/6]]（k∈Z）．
（3）f（α+[2π/3]）=2sin[（α+[2π/3]）+[π/3]]=2sin（α+π）=-2sinα=-[2/3]，
即sinα=[1/3]；
又因为α∈（[π/2]，π），所以cosα=-
1−sin2α=-

点评：
本题考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性与同角三角函数间的基本关系，属于中档题．