某地区原森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材
某地区原森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量
（1）计算a1，a2，a3的值；
（2）由（1）的结果，推测an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论；
（3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于[7/9]a，如果b=[19/72]a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取lg2≈0.30）
（1）计算a1，a2，a3的值；
（2）由（1）的结果，推测an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论；
（3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于[7/9]a，如果b=[19/72]a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取lg2≈0.30）
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解题思路：（1）依题意，可求得a1=[5/4]a-b，同理可求得a2=(
)2a-（[5/4]+1）b，a3=(
)3a-[(
)2+[5/4]+1]b；
（2）由（1）可推测an=(
)na-[(
)n−1+(
)n−2+…+[5/4]+1]b=(
)na-4[(
)n-1]b（n∈N*），利用数学归纳法证明即可；
（3）依题意知，(
)na-4[(
)n-1]×[19/72]a＜[7/9]a⇒(
)n＞5，两边取对数即可求得n的近似值．
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（2）由（1）可推测an=(
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（3）依题意知，(
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（1）a1=a（1+[1/4]）-b=[5/4]a-b，
a2=[5/4]a1-b=[5/4]（[5/4]a-b）-b=(
5
4)2a-（[5/4]+1）b，
a3=[5/4]a2-b=(
5
4)3a-[(
5
4)2+[5/4]+1]b，
（2）由（1）可推测
an=(
5
4)na-[(
5
4)n−1+(
5
4)n−2+…+[5/4]+1]b
=(
5
4)na-4[(
5
4)n-1]b（n∈N*）．
证明如下：①当n=1时，a1=a（1+[1/4]）-b=[5/4]a-b，已证推测成立．
②假设n=k时，ak=(
5
4)ka-4[(
5
4)k-1]b（k∈N*）成立，
则当n=k+1时，
ak+1=[5/4]ak-b=[5/4]{(
5
4)ka-4[(
点评：
本题考点： 数学归纳法；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．
考点点评： 本题考查等差数列与等比数列的求和，突出考查数学归纳法的应用，属于难题．
1年前
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