向量证明面面垂直现有平面α,β,现在α内有一直线a垂直于直线b（b在β内）且a垂直于平面β,已知α交β与直线L,求证：α

说明：b⊥L不一定成立.如图,设直线a对应AB,则直线b对应BF或者BE都可以满足条件.而直线L则是对应CD.由此可知b⊥L不一定成立.
证明α垂直于β实际上就是定理“如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直”的证明.
证明：（法向量证明）
∵AB⊥β
∴向量AB即可作为β的法向量,而且AB垂直于β内任意的一条直线
在平面β内过B点作直线BE⊥CD
∵AB垂直于β内任意的一条直线
∴AB⊥BE
∵AB与CD交于B点
∴BE⊥α
∴向量BE即可作为的α法向量
又∵向量AB即可作为β的法向量,且AB⊥BE
∴α⊥β
(二面角证明)
∵AB⊥β
∴AB垂直于β内任意的一条直线
∴AB⊥CD.
在平面β内过B点作直线BE⊥CD,则∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角
又∵AB垂直于β内任意的一条直线
∴AB⊥BE
∴二面角α--CD--β是直二面角
∴α⊥β