（九年级数学）OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点E.

(1) 因为∠AEF=90°,而OA=OB,所以EF是弦AB的垂直平分线,所以AE=EB.
(2) 设半径OA=r,则由勾股定理,AE²+OE²=OA²=r².
因为BE=AE,所以由切线定理（因为ΔBFE和ΔBFA相似）,BF²=BE×BA=AE×2AE,得BF=√2 AE.
因为ΔAEO和ΔAEN相似,故AN/AE=AE/AO,得AN=AE²/AO=AE²/r.
因此ON=AO-AN=r-AE²/r=(r²-AE²)/r=OE²/r.
则由勾股定理：AM²=AN²+MN²,OM²=ON²+MN²,
故 AM²=AN²+OM²-ON²
=AE⁴/r²+r²-OE⁴/r²
=(AE⁴-OE⁴)/r²+r²
=(AE²-OE²)(AE²+OE²)/r²+r²
=(AE²-OE²)r²/r²+r²
=AE²-OE²+r²
=AE²-(r²-AE²)+r²
=2 AE²,得AM=√2 AE.
因此,BF=AM.

连结CD、OB
则△ACD、△AOB都是等腰三角形
∴∠B＝∠A＝∠ADC
∴CD‖OB
∵CA＝CO
∴AD＝BD
或者：
设AO与大圆的另一个交点为E
连结OD、BE
由直径容易知∠ADO＝∠ABE＝90°
∴OD‖BE
∵AO＝OE
∴AD＝BD
另外，那里的证明方法其实你也已经学过，由∠...

连接OE，因为∠OEA所对的弦是直径OA所以∠OEA是直角，所以OE⊥AB连接OB

⑴省去，只做⑵

为了方便，把图形翻了过来，取坐标系O﹙0,0﹚.C﹙1,0﹚,A﹙2.0﹚.y轴向上。

☉O方程 x²+y²＝4① ☉C方程 ﹙x-1﹚²+y²＝1②

设 AB方程 y＝-k﹙x-2﹚ k＞0 ③

从①③得到B﹙﹙2k²-2﹚/﹙k²+1﹚.﹙4k﹚/﹙k²+1﹚﹚

从②③得到E﹙2k²/﹙k²+1﹚, *﹚,

代入① 得到M﹙2k²/﹙k²+1﹚, ﹙2√﹙2K²+1﹚﹚/﹙K²+1﹚﹚

AM²＝……＝8/﹙k²+1﹚

BF²＝BC²-CF²＝BC²-1＝……＝8/﹙k²+1﹚ ∴AM＝BF

[计算稍麻烦，请楼主按步骤仔细核算一遍，谢谢。]

(1)证明：连接EF∵AF是⊙C的直径∴∠AEF=90°∴⊙O中AE=BE
（2）BF=AM。理由如下：
作直径AH。连接AH。∵AH是⊙O的直径∴∠ABH=∠AMH=90°∵MN⊥OA∴∠ANM=90°
∵∠MAN=∠HAM, ∠ANM=∠AMH=90°∴△ANM∽△AMH∴AM/AN=AH/AM∴AM²=AN×AH
同理△AEN∽△AHB，AE/AN=...

(1) 因为∠AEF=90°，而OA=OB，所以EF是弦AB的垂直平分线，所以AE=EB。

(2) 设半径OA=r，则由勾股定理，AE²+OE²=OA²=r²。

因为BE=AE，所以由切线定理（因为ΔBFE和ΔBFA相似），BF²=BE×BA=AE×2AE，得BF=√2 AE。

因为...