在平面直角坐标系中，已知A1(−2，0)，A2(2，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，−2)，若实数λ使得λ2O

解题思路：（1）根据已知点的坐标，分别表示出

OM

，

ON

，

A1P

，

A2P

代入λ2

OM

•

ON

＝

A1P

•

A2P

中即可求得x和y的关系式，根据λ的值的不同判断出方程表示的不同轨迹．
（2）把λ代入（1）中求得轨迹方程，可知其轨迹为椭圆，进而分别表示出△OBE和△OBF的面积，设出EF的直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁•x₂代入

(x1+x2)2

x1•x2

中根据k的范围确定

x1

x2

，进而求得两三角形面积之比．

（1）

OM＝(x，1)，

ON＝(x，−2)，

A1P＝(x+
2，y)，

A2P＝(x−
2，y)
∵λ2

OM•

ON＝

A1P•

A2P∴（x²-2）λ²=x²-2+y²化简得：（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²）
①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线
②λ=0时方程为x²+y²=2轨迹为圆
③λ∈（-1，0）∪（0，1）时方程为
x2
2+
y2
2(1−λ2)＝1轨迹为椭圆
④．λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时方程为
x2
2−
y2
2(λ2−1)＝1轨迹为双曲线
（2）∵λ＝

2
2，∴P点轨迹方程为
x2
2+y2＝1，
∴S△OBE＝
1
2×2×|x1|，S△OBF＝
1
2×2×|x2|
∴S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|
设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得：（1+2k²）x²+8kx+6=0．
∴△＝64k2−24−48k2＞0，∴k2＞
3
2.x1+x2＝−
8k
1+2k2，x1•x2＝
6
1+2k2，
∴
(x1+x2)2
x1•x2＝
64k2
6(1+2k2)＝
x1
x2+
x2
x1+2，∵k2＞
3
2，∴
64k2
6(1+2k2)∈(4，
16
3)
∴
x1
x2∈(
1
3，1)∪(1，3)
由题意可知：S_△OBE＜S_△OBF，所以
S△OBE
S△OBF∈(
1
3，1)．

点评：
本题考点： 轨迹方程；椭圆的定义；双曲线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查了轨迹方程，直线与椭圆的关系．考查了学生综合分析问题的能力．