设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若a1=（1，a，0）T，a2=（2，1，1）T，a3=（0

解题思路：首先，根据实对称矩阵必可以对角化，得出a₁=（1，a，0）^T，a₂=（2，1，1）^T，a₃=（0，1，-1）^T是线性相关的，从而它们构成的行列式为零，得到a的值；然后，由r（A）=2，得出A必有为0的特征值，再由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的，求解对应的特征向量；最后，将A对角化后，求出Aⁿβ．

（1）由于实对称矩阵的2重特征根，对应着2个线性无关的特征向量，因而
a₁=（1，a，0）^T，a₂=（2，1，1）^T，a₃=（0，1，-1）^T是线性相关的，
∴
.
120
a11
01−1.=2a-2=0
∴a=1
（2）设k为A的另一特征值，由于实对称矩阵必可以对角化，则存在可逆矩阵P，使得
P−1AP＝

6
6
k＝∧
∴r（A）=r（∧）=2
∴k=0
设特征值0对应的特征向量p＝

u
v
w，则p与α_i（i=1，2）正交
∴

点评：
本题考点： 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．

考点点评： 此题考查实对称矩阵的性质和特征值特征向量的定义与求法，以及对角化矩阵的运用，是基础知识点的综合．