井然一叶 幼苗
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若△ABC中,AB=AC,∠A=45°,不论过A作直线(或过B作直线或过C作直线)都不能把三角形ABC化成两个等腰三角形,∴①错误;
图②中,有等腰三角形7个:△ABD,△CBD,△ACE,△CDE,△BEF,△CDF,△FBC,∴②错误;
∵等边△ABC,
∴AB=AC,∠ACB=60°,
∵AD∥BC,CD⊥AD,
∴∠DCB=∠D=90°,
∴∠ACD=30°,
∴AD=[1/2]AC=[1/2]AB,∴③正确;
过C作CF∥BD交AB的延长线于F,连接DC,EF,
∴[AE/AC]=[AB/AF],
∵AE=AB,AD=AC,
∴AF=AC=AD,
∴CE=BF,
即BE∥CF,CE=BF,
∴四边形BECF是等腰梯形,
∴EF=BC,
在△DAC和△FAC中
AD=AF
∠DAC=∠FAC
AC=AC,
∴△DAC≌△FAC,
∴CD=CF,
同理DE=EF,
∵AD=AC,AE=AB,
∴∠ADC=∠ACD,∠AEB=∠ABE,
∵∠DAC=∠BAC,∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°,∠CAB+∠AEB+∠ABE=180°,
∴∠ACD=∠AEB,
∵∠AEB=∠DEC,
∴∠ACD=∠DEC,
∴DE=CD,
∴DC=CF=EF=ED,
∵EF=CB,
∴DC=BC,
∴∠CBD=∠CDE,
∵∠DCA=∠DEC=∠AEB=∠ABE,
由三角形的内角和定理得:∠CDE=∠CAB=[1/2]∠DAB,
∴∠DBC=[1/2]∠DAB,∴④正确.
故答案为:③④.
点评:
本题考点: 等腰直角三角形;角平分线的定义;三角形内角和定理;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定;等腰三角形的判定与性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形.
考点点评: 本题考查了等边三角形性质,含30度角的直角三角形性质,等腰三角形的性质和判断,角平分线定义,全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理等知识点的综合运用,第④小题证明过程偏难,对学生提出较高的要求,熟练地运用性质进行推理是解此题的关键.
1年前