使得x^2-5x-24成为完全平方数的所有整数x的个数为

因式分解,
x^2-5x-24=(x-8)(x+3),
①当x^2-5x-24=0时,x=8或-3
②当x^2-5x-24≠0时,
而(x-8,x+3)=(11,x+3)=1或11.
⑴当(x+3,x-8)=11时,
设x+3=11*a^2,x-8=11*b^2,则
11=11*a^2-11*b^2,即
(a+b)(a-b)=1,由于a、b均为整数,得
a+b=1且a-b=1,所以a=1,b=0,
解得x=8,舍去
⑵当(x+3,x-8)=1时,
设x+3=a^2,x-8=b^2,则
11=a^2-b^2=(a-b)(a+b),
因此a+b=11,a-b=1,所以
a=6,b=5,因此得x=33.
综合得x=33、8、-3,个数为3.

解这类题时,通常要因式分解,求出每一项的公约数,然后分类设a^2之类,解出a^2、b^2的关系,从而求出x.这道题比较特别,因为存在整数使其值为0,要分类,否则会漏掉-3这种情况.